弹性悬链线问题
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如何求解弹性悬链线问题？
弹性悬链线
考虑弹性能的悬链线可以从刚性悬链线通过扰动的方式得到。
1 非弹性解的形式
考虑泛函：
\[E = \int \sqrt{x'(t)^2 + y'(t)^2} \, y(t) \, dt\]Lagrangian 为：
\[L = \sqrt{x'(t)^2 + y'(t)^2} \, y(t)\]带入 Lagrange 方程得到：
\[\frac{d}{dt} \frac{y' y}{\sqrt{x'(t)^2 + y'(t)^2}} = \sqrt{x'(t)^2 + y'(t)^2}\] \[\frac{x' y}{\sqrt{x'(t)^2 + y'(t)^2}} = C_1\]解得：
\[y = a \cosh t\] \[x = a t - b\]2 考虑弹性能
先考虑绳子不伸长时的情况，如上所示。如果绳子具有弹性能，那么绳子上任意一点的坐标仅仅是绳子无伸长时的一个修正，这个修正是重力势能与弹性势能竞争的结果。
考虑绳子变化为 $\epsilon_x(t), \epsilon_y(t)$，修正前后绳子的微元及坐标可以写成如下形式：
修正前：
\[y = a \cosh t\] \[x = a t - b\] \[ds_0 = a \cosh t \, dt\]修正后：
\[x = a \left( t + \epsilon_x(t) \right) - b\] \[y = a \left( \cosh t + \epsilon_y(t) \right)\] \[\begin{aligned} ds &= a \sqrt{ \cosh^2 t + \epsilon_x'(t)^2 + \epsilon_y'(t)^2 + 2 \epsilon_x'(t) + 2 \epsilon_y'(t) \sinh t } \, dt \end{aligned}\]能量变化可以写作如下表达式：
\[\begin{aligned} \Delta E &= \Delta E_p + \Delta E_k \\ &= \int \rho g a^2 \epsilon_y(t) \cosh(t) \, dt + K \int \left( \frac{ds - ds_0}{ds_0} \right)^2 ds_0 \\ &= \int \rho g a^2 \epsilon_y(t) \cosh(t) \, dt + K \int \frac{ \left( \sqrt{ \cosh^2 t + \epsilon_x'(t)^2 + \epsilon_y'(t)^2 + 2 \epsilon_x'(t) + 2 \epsilon_y'(t) \sinh t } - \cosh t \right)^2 }{ \cosh t } \, dt \\ &= \rho g a^2 \int \left[ \cosh(t) \, \epsilon_y(t) + K_1 \frac{ \left( \sqrt{ \cosh^2 t + \epsilon_x'(t)^2 + \epsilon_y'(t)^2 + 2 \epsilon_x'(t) + 2 \epsilon_y'(t) \sinh t } - \cosh t \right)^2 }{ \cosh t } \right] dt \end{aligned}\]其中 $K_1 = \dfrac{K}{\rho g a^2}$。
可以看出 Lagrangian 具有如下形式：
\[\begin{aligned} L\left( \epsilon_y'(t), \epsilon_x'(t), \epsilon_y(t), \epsilon_x(t), t \right) &= \cosh(t) \, \epsilon_y(t) \\ &\quad + K_1 \frac{ \left( \sqrt{ \cosh^2 t + \epsilon_x'(t)^2 + \epsilon_y'(t)^2 + 2 \epsilon_x'(t) + 2 \epsilon_y'(t) \sinh t } - \cosh t \right)^2 }{ \cosh t } \\ &= \cosh(t) \, \epsilon_y(t) + K_1 \frac{ \left( \sqrt{ \cosh^2 t + \phi } - \cosh t \right)^2 }{ \cosh t } \end{aligned}\]其中 $\phi = \epsilon_x’(t)^2 + \epsilon_y’(t)^2 + 2 \epsilon_x’(t) + 2 \epsilon_y’(t) \sinh t$。
同时满足如下方程：
\[\frac{d}{dt} \frac{\partial L}{\partial \epsilon_y'} = \frac{\partial L}{\partial \epsilon_y}\] \[\frac{d}{dt} \frac{\partial L}{\partial \epsilon_x'} = \frac{\partial L}{\partial \epsilon_x}\]变分后得到：
\[\frac{\partial L}{\partial \phi} \frac{\partial \phi}{\partial \epsilon_y'} = 2 \frac{\partial L}{\partial \phi} (\sinh t + \epsilon_y') = C_1 + \sinh t\] \[\frac{\partial L}{\partial \phi} \frac{\partial \phi}{\partial \epsilon_x'} = 2 \frac{\partial L}{\partial \phi} (1 + \epsilon_x') = C_2\]由上面两式得到：
\[\epsilon_y' = (A - 1) \sinh t + (A \sinh t + B) \epsilon_x' + B\]上面为考虑弹性能时的一般性情况，当 $\epsilon_y = 0, \epsilon_x = 0$ 时，上式也应该满足，得到：
\[A = 1, \quad B = 0\]于是：
\[\epsilon_y' = \sinh t \, \epsilon_x'\]带入第二个方程并化简得到：
\[\epsilon_x'(t) = C \cdot \cosh t\]最终解得：
\[\epsilon_x(t) = C \cdot \sinh t\] \[\epsilon_y(t) = C \cdot \frac{\sinh^2 t}{2}\]