广义仿生图灵机
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本篇笔记介绍了基于仿生图灵机的广义理论。
我们考虑一种可变形细长剪纸带以实现共形变形。主曲率标架的运动方程可以写为：
\[\partial_s\left( \begin{array}{c} \mathbf{d}_1\\ \mathbf{d}_2\\ \mathbf{n}\\ \end{array} \right)=\left( \begin{matrix} 0& -(\theta'+\phi')& (\kappa_2-\kappa_1)\sin\theta\cos\theta\\ \theta'+\phi'& 0& -\kappa_1\sin^2\theta-\kappa_2\cos^2\theta\\ (\kappa_1-\kappa_2)\sin\theta\cos\theta& \kappa_1\sin^2\theta+\kappa_2\cos^2\theta& 0\\ \end{matrix} \right)\left( \begin{array}{c} \mathbf{d}_1\\ \mathbf{d}_2\\ \mathbf{n}\\ \end{array} \right)\]扭曲Frenet标架的运动方程可以写为：
\[\partial_s\left( \begin{array}{c} \mathbf{B}_1\\ \mathbf{T}\\ \mathbf{N}_1\\ \end{array} \right)=\left( \begin{matrix} 0& -\kappa\sin\varphi& \varphi'-\tau\\ \kappa\sin\varphi& 0& \kappa\cos\varphi\\ \tau-\varphi'& -\kappa\cos\varphi& 0\\ \end{matrix} \right)\left( \begin{array}{c} \mathbf{B}_1\\ \mathbf{T}\\ \mathbf{N}_1\\ \end{array} \right)\]我们也可以将带的运动表示为材料应变：
\[\partial_s\left( \begin{array}{c} \mathbf{d}_1\\ \mathbf{d}_2\\ \mathbf{d}_3\\ \end{array} \right)=\left( \begin{matrix} 0& m& m_1\\ -m& 0& m_2\\ -m_1& -m_2& 0\\ \end{matrix} \right)\left( \begin{array}{c} \mathbf{d}_1\\ \mathbf{d}_2\\ \mathbf{d}_3\\ \end{array} \right)\]最终我们得到逆向设计的方程：
\[\begin{cases} (\kappa_2-\kappa_1)\sin\theta\cos\theta=m_1\\ \kappa_1\sin^2\theta+\kappa_2\cos^2\theta=m_2\\ \phi'=-m-\theta' \end{cases}\]当 $\kappa_2=-\kappa_1$ 时，我们有：
\[\begin{cases} \phi'=-m-\theta' \\ \tan2\theta=-\frac{m_1}{m_2}\\ \kappa_1=\frac{m_2}{\cos2\theta} \end{cases}\]