基尔霍夫杆的不稳定性
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本文介绍了框架摄动法在分析基尔霍夫杆不稳定性中的基本理论。
基本方程
在本节中，我们回顾基尔霍夫杆的基本方程，并基于正交性推导局部框架的基本摄动格式，为下一节的不稳定性分析奠定基础。
考虑局部框架可以展开为：
\[\mathbf{d}=\left( \mathbf{I}+\varepsilon \mathbf{A}+\varepsilon ^2\mathbf{B} \right) \left( \begin{array}{c} \mathbf{d}_1\\ \mathbf{d}_2\\ \mathbf{d}_3\\ \end{array} \right)\]由于正交性，$ \mathbf{d} $ 满足 $\mathbf{d}\cdot\mathbf{d}^t=\mathbf{I}$，可得：
\[\left( \mathbf{I}+\varepsilon \mathbf{A}+\varepsilon ^2\mathbf{B} \right) \left( \mathbf{I}+\varepsilon \mathbf{A}^t+\varepsilon ^2\mathbf{B}^t \right) =\mathbf{I}+\varepsilon \left( \mathbf{A}+\mathbf{A}^t \right) +\varepsilon ^2\left( \mathbf{B}+\mathbf{B}^t+\mathbf{AA}^t \right)\] \[\mathbf{A}=\left( \begin{matrix} 0& \alpha _3& -\alpha _2\\ -\alpha _3& 0& \alpha _1\\ \alpha _2& -\alpha _1& 0\\ \end{matrix} \right)\]因此 $\mathbf{A}$ 是反对称矩阵，$\mathbf{B}=\mathbf{C}-1/2\mathbf{A}\mathbf{A}^t$，其中 $\mathbf{C}$ 也是反对称矩阵。框架在时间 $t$ 和弧长 $s$ 上的运动分别由二阶反对称张量 $\mathbf{K}$ 和 $\mathbf{W}$ 描述，这两个张量的摄动也可以计算。以框架在时间上的运动为例：
\[\dot{\mathbf{d}}=\mathbf{Wd}\]展开 $\mathbf{d}$ 和 $\mathbf{W}$：
\[\left( \mathbf{I}+\varepsilon \mathbf{A}+\varepsilon ^2\mathbf{B} \right) \mathbf{W}^{(0)}\mathbf{d}+\left( \varepsilon \dot{\mathbf{A}}+\varepsilon ^2\dot{\mathbf{B}} \right) \mathbf{d}=\left( \mathbf{W}^{(0)}+\mathbf{W}^{(1)}\varepsilon +\mathbf{W}^{(2)}\varepsilon ^2 \right) \left( \mathbf{I}+\varepsilon \mathbf{A}+\varepsilon ^2\mathbf{B} \right) \mathbf{d}\]通过比较两边的系数，$\mathbf{W}$ 的摄动分量可以写为：
\[\mathbf{W}^{(1)}=\frac{\partial \mathbf{A}}{\partial t}+\mathbf{AW}^{(0)}-\mathbf{W}^{(0)}\mathbf{A}\] \[\mathbf{W}^{(2)}=\frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t}+\mathbf{BW}^{(0)}-\mathbf{W}^{(0)}\mathbf{B}-\mathbf{AW}^{(1)}\]类似地，$\mathbf{K}$ 的摄动分量为：
\[\mathbf{K}^{(1)}=\frac{\partial \mathbf{A}}{\partial s}+\mathbf{AK}^{(0)}-\mathbf{K}^{(0)}\mathbf{A}\] \[\mathbf{K}^{(2)}=\frac{\partial \mathbf{B}}{\partial s}+\mathbf{BK}^{(0)}-\mathbf{K}^{(0)}\mathbf{B}-\mathbf{AK}^{(1)}\]现在我们在下一节中考虑基尔霍夫方程的摄动。
基尔霍夫杆
基尔霍夫杆的控制方程可以写为：
\[\begin{cases} \left( \mathbf{F} \right) _{ss}=\rho A\ddot{\mathbf{d}}_3\\ \left( \mathbf{M} \right) _s+\mathbf{d}_3\times \mathbf{F}=\rho \left( I_2\mathbf{d}_1\times \ddot{\mathbf{d}}_1+I_1\mathbf{d}_2\times \ddot{\mathbf{d}}_2 \right)\\ \end{cases}\]我们在材料框架中展开 $\mathbf{F}$ 和 $\mathbf{M}$：
\[\begin{cases} \mathbf{F}=f\mathbf{d}, f=\left( f_1, f_2, f_3 \right)\\ \mathbf{M}=m\mathbf{d}, m=\left( m_1, m_2, m_3 \right) =\left( EI_1\left( \kappa _1-\bar{\kappa}_1 \right) , EI_2\left( \kappa _2-\bar{\kappa}_2 \right) , GJ\left( \kappa _3-\bar{\kappa}_3 \right) \right)\\ \end{cases}\]方程的无量纲形式可以写为：
\[\begin{cases} \left( \mathbf{F} \right) _{ss}=\ddot{\mathbf{d}}_3\\ \left( \mathbf{M} \right) _s+\mathbf{d}_3\times \mathbf{F}=\beta \mathbf{d}_1\times \ddot{\mathbf{d}}_1+\alpha \mathbf{d}_2\times \ddot{\mathbf{d}}_2\\ \end{cases} \\ \begin{cases} \mathbf{F}=f\mathbf{d},f=\left( f_1,f_2,f_3 \right)\\ \mathbf{M}=m\mathbf{d},m=\left( m_1,m_2,m_3 \right) =\left( \alpha \left( \kappa _1-\bar{\kappa}_1 \right) ,\beta \left( \kappa _2-\bar{\kappa}_2 \right) ,\gamma \left( \kappa _3-\bar{\kappa}_3 \right) \right)\\ \end{cases}\]其中
\[\begin{cases} \mathbf{F}\rightarrow \mathbf{F}AE, \mathbf{M}\rightarrow \mathbf{M}E\sqrt{AJ}\\ EI_1\rightarrow \alpha EJ, EI_2\rightarrow \beta EJ, G=\gamma E\\ s\rightarrow s\sqrt{J/A}, t\rightarrow t\sqrt{J\rho /AE}\\ \end{cases}\]注意 $\left( \mathbf{d} \right) _s=\mathbf{Kd}, \dot{\mathbf{d}}=\mathbf{Wd}$，控制方程可以简化为：
\[\begin{cases} \left( \left( f_s+f\mathbf{K} \right) _s+\left( f_s+f\mathbf{K} \right) \mathbf{K} \right) \mathbf{d}=\Delta \mathbf{d}\\ \left( \gamma \left( m_s+m\mathbf{K} \right) +f\Lambda \right) \mathbf{d}=\Theta \mathbf{d}\\ \end{cases}\] \[\begin{cases} \Delta =\left( \omega _1\omega _3+\begin{matrix} \left( \omega _2 \right) _t& \omega _2\omega _3-\left( \omega _1 \right) _t& -\omega _{1}^{2}-\omega _{2}^{2}\\ \end{matrix} \right)\\ \Theta =\left( \begin{matrix} \alpha \left( \left( \omega _1 \right) _t+\omega _2\omega _3 \right)& \beta \left( \left( \omega _2 \right) _t-\omega _1\omega _3 \right)& \alpha \left( \left( \omega _3 \right) _t+\omega _1\omega _2 \right) +\beta \left( \left( \omega _3 \right) _t-\omega _1\omega _2 \right)\\ \end{matrix} \right)\\ \end{cases}\]通过将基尔霍夫方程展开到一阶，我们可以推导出 ${f_1, f_2, f_3, \alpha_1, \alpha_2, \alpha_3}$ 的二阶导数，用于判断屈曲模式。
案例分析
第一种情况
我们考虑第一种情况：平面环的扭转屈曲。首先我们求解静态构型，然后基于该基本模式进行摄动。基尔霍夫方程可以表示为：
\[\begin{cases} \left( f_1 \right) _s=f_2\kappa_3-f_3\kappa_2\\ \left( f_2 \right) _s=f_3\kappa_1-f_1\kappa_3\\ \left( f_3 \right) _s=f_1\kappa_2-f_2\kappa_1\\ \left( \alpha (\kappa_1-\bar{\kappa}_1) \right) _s=\beta (\kappa_2-\bar{\kappa}_2)\kappa _3-\gamma (\kappa_3-\bar{\kappa}_3)\kappa _2+F_2\\ \left( \beta (\kappa_2-\bar{\kappa}_2) \right) _s=\gamma (\kappa_3-\bar{\kappa}_3)\kappa _1-\alpha (\kappa_1-\bar{\kappa}_1)\kappa _3-F_1\\ \left( \gamma (\kappa_3-\bar{\kappa}_3) \right) _s=\alpha (\kappa_1-\bar{\kappa}_1)\kappa _2-\beta (\kappa_2-\bar{\kappa}_2)\kappa _1\\ \end{cases}\]静态解的几何形状是一个环（必须是各向同性截面），扭转角为 $\tau$，材料应变可以写为：$\kappa_3=\tau_0, \bar{\kappa}_3=\bar{\kappa}_1=\bar{\kappa}_2=0,\alpha=\beta$。
最终得到：
\[\begin{cases} f_1=\gamma \tau_0 \kappa _0\sin \left( \tau_0 s \right) , f_2=\gamma \tau_0 \kappa _0\cos \left( \tau_0 s \right) , f_3=0\\ \kappa _1=\kappa _0\sin \left( \tau_0 s \right) , \kappa _2=\kappa _0\cos \left( \tau_0 s \right) , \kappa _3=\tau_0\\ \end{cases}\]简化摄动格式，
\[\left( \begin{array}{cccccc} 2 i \gamma \kappa_0^3 n \tau_0 & \sigma ^2 & \gamma \kappa_0^3 \left(n^2+1\right) \tau_0 & -\kappa_0^2 \left(n^2+1\right) & 0 & 2 i \kappa_0^2 n \\ \sigma ^2 & 0 & 0 & 0 & \kappa_0^2 n^2 & 0 \\ -\gamma \kappa_0^3 \left(n^2+1\right) \tau_0 & 0 & 2 i \gamma \kappa_0^3 n \tau_0 & -2 i \kappa_0^2 n & 0 & -\kappa_0^2 \left(n^2+1\right) \\ -\alpha \sigma ^2-\kappa_0^2 \left(-\beta +\gamma +\alpha n^2\right) & -i \kappa_0 n \tau_0 (\alpha -\beta +\gamma ) & i \kappa_0^2 n (\alpha -\beta +\gamma ) & 0 & 1 & 0 \\ i \kappa_0 n \tau_0 (\alpha -\beta -\gamma ) & \beta \left(\kappa_0^2 n^2+\sigma ^2\right) & \kappa_0 \tau_0 (2 \alpha -2 \beta -\gamma ) & 1 & 0 & 0 \\ -i \kappa_0^2 n (\alpha -\beta +\gamma ) & \kappa_0 \tau_0 (\alpha -\beta ) & -\left(\sigma ^2 (\alpha +\beta )\right)-\kappa_0^2 \left(\alpha -\beta +\gamma n^2\right) & 0 & 0 & 0 \\ \end{array} \right)\]