环状生物的最大体积
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假设纤维螺旋缠绕在环上，肌肉纤维长度给定的情况下，要想体积最大，肌肉纤维的螺旋倾角应该为多少度？
螺旋线纤维缠绕圆柱的最大体积
假设线虫是由肌肉纤维螺旋缠绕在圆柱上组成，肌肉纤维长度给定的情况下，要想体积最大，肌肉纤维的螺旋倾角应该为多少度？
见J. B. Cowey (J Cell Sci* (1952) s3-93 (21): 1–15.)的工作。
\[V=\pi R^2*L=\frac{1}{4\pi} D^3 \sin^2\theta \cos\theta\]体积最大时有 $\cos\theta=\frac{1}{\sqrt{3}}$。
纤维复合Torus的最大体积
假设纤维缠绕$k$圈，纤维的参数方程可以写为：
\[p(\theta)=\{\cos\theta (R-r \cos k\theta),\sin \theta (R-r \cos k\theta ),r \sin k\theta \}\]纤维长度可以写作：
\[ds=\sqrt{k^2r^2+(R-r\cos k\theta)^2}d\theta\]固定纤维长度，有：
\[\int_0^{2\pi}\sqrt{k^2r^2+(R-r\cos k\theta)^2}d\theta=L\]Torus的体积为：
\[V=2\pi^2r^2R\]问题转化为在纤维长度$L$以及环绕圈数$k$固定的时候求体积极大值，长度用$L$，体积用$2\pi^2L^3$无量纲化，问题转化为：
\[\int_0^{2\pi}\sqrt{k^2r^2+(R-r\cos k\theta)^2}d\theta=1, k=1,2,3......N\] \[V=r^2R|_{max}, \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \{r,R\}\]假设$\Lambda$为拉格朗日乘子，有：
\[\begin{aligned} \mathcal{L}=r^2R-\Lambda(\int_0^{2\pi}\sqrt{k^2r^2+(R-r\cos k\theta)^2}d\theta-1)\\ Variables:\{r,R,\Lambda \} \end{aligned}\]求偏导有：
\[\begin{aligned} \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \Lambda}=\int_0^{2\pi}{\sqrt{k^2r^2+(R-r\cos k\theta )^2}}d\theta -1=0 \\ \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial r}=2rR-\Lambda \int_0^{2\pi}{\frac{k^2r+kr\cos ^2\theta -R\cos \theta k}{\sqrt{k^2r^2+(R-r\cos k\theta )^2}}}d\theta =0 \\ \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial R}=r^2-\Lambda \int_0^{2\pi}{\frac{R-r\cos \theta k}{\sqrt{k^2r^2+(R-r\cos k\theta )^2}}}d\theta =0 \end{aligned}\]数值求解Eq. (8), 可以得到Torus的优化值，如下图：
绘制不同缠绕数情况下的Torus，数组表示含义为$(R/L, r/L, Vol/L^3)$：
