杆模型确定边界条件的方法

三维空间中欧拉角的转动，当比较复杂的时候很难一次性想清楚。如何确定Kirchhoff杆正确的边界条件呢？下面给出一种直接求解的方法

确定杆两端在全局和局部标架中的表达

假设全局标架表达为, 左端局部标架表达为，右端局部标架表达为。全局与局部标架之间通过转动矩阵变化得到：

我们只需要通过和求解边界条件即可。这里我们展示通过两种方法得到相同的结果，第一种方法为直接通过四元数转动矩阵求解，第二种方法为先反求具有明确物理意义的欧拉角，再通过欧拉角与四元数之间的关系求解边界条件。

四元数直接求解

四元数的转动矩阵为：

通过以及求出对应四元数的边界条件。

首先得到：

其次可以反解得到：

通过欧拉角求解

首先通过转动矩阵反解欧拉角 (mathematica函数EulerAngle)，然后利用四元数与欧拉角的关系确定边界条件。四元数与欧拉角关系为：

Note： 这里有一点值得特别注意。之前通过四元数的变换为：

这里标架矢量均为行矢量，但是我们一般定义转动矩阵如下：

这里均为列矢量，标架变换写成矩阵形式为：

转置后为：

由于单位矩阵是对称的，因此有：

从Eq. (8) 和 Eq. (11) 可以看出：

这一点在利用mathematica求解欧拉角的过程中需要特别注意。

符号计算程序

四元数直接求解：

Clear["`*"]
fQ[R_] := 
 Module[{q0, q1, q2, q3}, {q0 = 1/2 Sqrt[Tr[R] + 1], 
   q1 = (R[[2, 3]] - R[[3, 2]])/(4 q0), 
   q2 = (R[[3, 1]] - R[[1, 3]])/(4 q0), 
   q3 = (R[[1, 2]] - R[[2, 1]])/(4 q0)}]

欧拉角间接求解：

Clear["`*"]
fE[R_] := 
 Module[{q0, q1, q2, q3, f}, {f = EulerAngles[R // Transpose]; 
   q0 = Cos[f[[2]]/2] Cos[(f[[1]] + f[[3]])/2],
   q1 = Sin[f[[2]]/2] Sin[(f[[3]] - f[[1]])/2],
   q2 = Sin[f[[2]]/2] Cos[(f[[3]] - f[[1]])/2],
   q3 = Cos[f[[2]]/2] Sin[(f[[1]] + f[[3]])/2]}]