Kirchhoff弹性杆如何退化到一些经典理论？

均假设为恒定圆截面弹性杆

静态弹性杆

上式化简为：





分两种情况讨论：

① 转动采用欧拉角形式表示（3-2-3转动）

转动矩阵为：

Frenet矩阵为：

(2) (3) (4)结合表达为分量形式可以得到：



共有12组方程，12个变量()。上述方程组是封闭的。

② 转动采用四元数形式表示

转动矩阵为：

Frenet矩阵为：

加上约束：

(2) (6) (7) (8)结合表达为分量形式可以得到：




转动表达形式选取影响的只是(5)式，在存在载荷时会体现出与欧拉角求解的差异，外部载荷为零时，由于是局部标架与整体标架是解耦的。

简化讨论

若外载荷为0，欧拉角从上述方程中解耦出来。得到：

化简为：


即使对于无外载荷的Kirchhoff弹性杆，求得的控制方程已经足够复杂。现在考虑选取Frenet坐标系，即令，上式化简为：

定义，为泊松比。得到控制方程：

通过(9)积分得到：

求出含扭转无载静态弹性杆的控制方程为：

可以看出，如果不考虑扭转能，令，(11)退化到弹性线问题与数值求解中通过能量泛函求出的Euler’s Elastica Rod方程。

稳态弹性杆（沿绳子运动）

局部标架二阶导表达式为：


弹性杆方程：





二维理论

二维静态理论

从静态理论的代码开始简化：







简化条件：











矢量方程化简为：

在这里分两种情况进行讨论：
① 小角度情况： ，此时标架与固定坐标系重合，(6)式化简为：

对于不可拉伸梁结构，轴力为常数。对于悬臂梁右端轴力为零，因此 。

由(8)式得到：

对于恒定弯矩载荷作用梁，上式退化为经典的欧拉梁公式：

② 外力载荷为0的情况：此时 q_x(s)=0,q_y(s)=0

(6)式化简为：

(10)式化简为：

如果外力矩载荷为零， 。得到：，展开后即为Euler Elastica方程(弹性线问题与数值求解中通过能量方法已经得到)：

二维稳态理论

二维稳态理论可简化为：







简化条件：











矢量方程简化为：

上式化简为：

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作者: 得意喵~