传统微分几何对曲线论的介绍中以Frenet标架引入(具有几何直观),但是如何以张量的观点看待曲线论呢?

定义

Frame指一组向量,满足:

性质

上式可以推出如下性质:

1

2 之间的关系




对于Frenet:

对于Bishop:

若:
有:
结合上述表达式:

注意这里 不求和。
可以得到如下结论:

可以发现Daboux矢量和旋转张量完全是由诱导出来的。
因此说Frenet方程决定了曲线的内禀结构。

3 Bishop Frenet Material frame 之间的关系


考虑,即参考标架之间的转动。


得到重要表达式:

考虑转动以及三种形式的标架:


三种frame:

由上式张量方程可以得到:
Bishop沿轴转动,得到Frenet标架,满足:

Bishop沿轴转动,得到Material标架,满足:

Frenet沿轴转动,得到Material标架,满足:

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作者: 得意喵~