偶然发现了这个有趣的类比~~
在高等数学中，莱布尼茨公式非常常见。但是，作为工科学生，在工科数学分析基础上没看到证明。作为一个不严格的理解，记录如下。

Leibniz公式
\begin{array}{l} {(\mu v)^{( n )}=\sum_{k=0}^{n} C_{n}^{k} \mu^{(k)} \cdot v^{(n-k)}} \\ {\mu^{(0)}=\mu} \\ {v^{(0)}=v} \end{array}
Leibniz公式与二项式定理很像，那么他们又有什么关系呢？
一个有趣的想法是，可以定义一种算子: \square+\Delta 。

一般的，我们定义一种东西，是因为他可以符合某种好的性质。

那么这个算子的性质:

\square 只与u作用，与ν不作用，对称的， \Delta 也只与v作用，与u不作用。他们与函数作用的结果是对这个函数求导。
n个 \square 依次与u作用，表示对u求n阶导，可以记为 \square^n ， \Delta 也同理。

这样就清楚了:

如果我想对uv乘积进行求导，我就把它记为:

(\square+\Delta) \mu \nu=\mu^{\prime} \nu+\nu^{\prime} \mu

对uv想求二阶导就对原有的一阶导再乘以 \square+\Delta ，即 (\square+\Delta)^{2} \mu v ，

不难验证这样写法是正确的（归纳法）。

如果n阶导数的话，就有:

(\mu \nu)^{(n)}=(\square+\Delta)^{n} \mu \nu=\mu \nu \sum_{k=0}^{n} C_{n}^{k} \square^{k} \Delta^{n-k}=\sum_{k=0}^{n} C_{n}^{k} \mu^{(k)} \cdot \nu^{(n-k)}

小结

初看Leibniz公式与二项式定理很像，但是为什么还是值得思考的。如果不是两个函数相乘而是很多个。那么，就可以定义很多类似于 \square 的东西，推广出来应该就是广义二项式定理。

其实，这个问题从高中就开始困扰我，知道大学才明白一点。

容易发现，导数的线性性质在这里表现为乘法的分配律。

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作者: 得意喵~